高中數(shù)學(xué)積化和差計算公式
高中數(shù)學(xué)積化和差公式記憶方法
最簡潔記憶口決:
積化和差得和差,余弦在后要相加;異名函數(shù)取正弦,正弦相乘取負(fù)號。
積化和差公式的形式比較復(fù)雜,記憶中以下幾個方面是難點(diǎn),下面指出了特點(diǎn)各自的簡單記憶方法。
這一點(diǎn)最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域來判斷。sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域應(yīng)該是[-2,2],而積的值域卻是[-1,1],因此除以2是必須的。
也可以通過其證明來記憶,因為展開兩角和差公式后,未抵消的兩項相同而造成有系數(shù)2,如:
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
高中數(shù)學(xué)積化和差公式記憶竅門
1.觀察
(1)仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn),其實兩組公式是相互對應(yīng)的,把第一組公式左右調(diào)換稍作轉(zhuǎn)換就可以得到第二組公式,所以只需要記憶一組公式就可以了,記憶量減少一半。
(2)以記憶第一組公式為例,從公式中很容易找出規(guī)律,就是sin自己做加減和cos自己做加減,然后結(jié)果是sin和cos位置和加減法的調(diào)換。右側(cè)始終都有2、(α+β)/2和(α-β)/2,且位置固定,所以只需要記憶前面的sin和cos的符號位置及正負(fù)就可以了。(很多時候到這一步,記憶公式只要能找到規(guī)律,剩下的稍加記憶然后默寫多看幾次就可以背下來,如果還是記憶有困難那么接著往下)
2.轉(zhuǎn)化
諧音
sin-賽
cos-口
3.歌訣記憶
歌訣記憶公式很常見,用歌訣記憶sin和cos的符號位置及正負(fù),例如:
口口之和仍口口
賽賽之和賽口留
口口之差負(fù)賽賽
賽賽之差口賽收
如果說用歌訣還是記得有點(diǎn)混,可以再形象點(diǎn),想像sin代表男人,cos代表女人,+代表團(tuán)結(jié),-代表打架,那么四個公式就可以記憶為
兩個男人團(tuán)結(jié),男人地位在前,女人就要靠邊站??(sin+sin=sincos)
兩個男人打架,女人趁機(jī)而入在前,男人就要靠邊站??(sin-sin=cossin)
兩個女人團(tuán)結(jié),男人徹底沒地位,女人統(tǒng)治天下??(cos+cos=coscos)
兩個女人打架,悍婦全都排除掉(-),男人統(tǒng)治天下??(cos-cos=-sinsin)
注:以上記憶僅為個人最容易記得清楚的聯(lián)想,不帶有性別歧視,可結(jié)合自身的喜好重新進(jìn)行聯(lián)想記憶。
高中數(shù)學(xué)積化和差應(yīng)用
積化和差公式可以將兩個三角函數(shù)值的積化為另兩個三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的形式,所以使用積化和差公式可以達(dá)到降次的效果。
在歷史上,對數(shù)出現(xiàn)之前,積化和差公式被用來將乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算,運(yùn)算需要利用三角函數(shù)表。
運(yùn)算過程:將兩個數(shù)通過乘、除10的方冪化為0到1之間的數(shù),通過查表求出對應(yīng)的反三角函數(shù)值,即將原式化為10ksinαsinβ的形式,套用積化和差后再次查表求三角函數(shù)的值,并最后利用加減算出結(jié)果。對數(shù)出現(xiàn)后,積化和差公式的這個作用由更加便捷的對數(shù)取代。
在現(xiàn)代工程中,積化和差的重要應(yīng)用在于求解傅里葉級數(shù),特別是在以2π為周期和以2L為周期的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時。因為在這種情況下,被展開函數(shù)f(x)一般也是三角函數(shù),但其ω與傅里葉系數(shù)公式中的三角函數(shù)不同,這就為最終求解系數(shù)帶來很大困難,因為求解系數(shù)的過程中,要求一個在2π周期內(nèi)的積分,若被積函數(shù)是cosxcosnx,直接積分非常困難,若運(yùn)用積化和差將乘積的積分化為加減運(yùn)算的積分,將使問題變得容易解決,使用計算機(jī)處理時效率也會更高。