高一數(shù)學函數(shù)知識點歸納
1、函數(shù)：設A、B為非空集合，如果按照某個特定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合B={f(x)?x∈A}叫做函數(shù)的值域。
2、函數(shù)定義域的解題思路：
⑴若x處于分母位置，則分母x不能為0。
⑵偶次方根的被開方數(shù)不小于0。
⑶對數(shù)式的真數(shù)必須大于0。
⑷指數(shù)對數(shù)式的底，不得為1，且必須大于0。
⑸指數(shù)為0時，底數(shù)不得為0。
⑹如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的，那么，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。
⑺實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義。
3、相同函數(shù)
⑴表達式相同：與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。
⑵定義域一致，對應法則一致。
4、函數(shù)值域的求法
⑴觀察法：適用于初等函數(shù)及一些簡單的由初等函數(shù)通過四則運算得到的函數(shù)。
⑵圖像法：適用于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。
⑶配方法：主要用于二次函數(shù)，配方成y=(x-a)2+b的形式。
⑷代換法：主要用于由已知值域的函數(shù)推測未知函數(shù)的值域。
5、函數(shù)圖像的變換
⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。
⑵伸縮變換：在x前加上系數(shù)。
⑶對稱變換：高中階段不作要求。
6、映射：設A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的映射。
⑴集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。
⑵集合A中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個。
⑶不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
7、分段函數(shù)
⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達式。
⑵各部分自變量和函數(shù)值的取值范圍不同。
⑶分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。
8、復合函數(shù)：如果（u∈M），u=g(x)（x∈A）,則，y=f[g(x)]=F(x)（x∈A），稱為f、g的復合函數(shù)。
高一數(shù)學函數(shù)的性質(zhì)
1、函數(shù)的局部性質(zhì)??單調(diào)性
設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對應定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個變量x1、x2，當x1< x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么y=f(x)在區(qū)間d上是增函數(shù)，d是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當x1< x2時，都有f(x1)="">f(x2)，那么那么y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。
⑴函數(shù)區(qū)間單調(diào)性的判斷思路
?在給出區(qū)間內(nèi)任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1< x2。
?做差值f(x1)-f(x2)，并進行變形和配方，變?yōu)橐子谂袛嗾摰男问健?/p>
?判斷變形后的表達式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調(diào)性。
⑵復合函數(shù)的單調(diào)性
復合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性與構成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關，其規(guī)律為“同增異減”；多個函數(shù)的復合函數(shù)，根據(jù)原則“減偶則增，減奇則減”。
⑶注意事項
函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集，如果函數(shù)在區(qū)間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A和B，不能表示為A∪B。
2、函數(shù)的整體性質(zhì)??奇偶性
對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(-x)，則f(x)就為偶函數(shù)；
對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=-f(x)，則f(x)就為奇函數(shù)。
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⑴奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)
?無論函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，只要函數(shù)具有奇偶性，該函數(shù)的定義域一定關于原點對稱。
?奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱。
⑵函數(shù)奇偶性判斷思路
?先確定函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則為非奇非偶函數(shù)。
?確定f(x)和f(-x)的關系：
若f(x)-f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=1，則函數(shù)為偶函數(shù)；
若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=-1，則函數(shù)為奇函數(shù)。
3、函數(shù)的最值問題
⑴對于二次函數(shù)，利用配方法，將函數(shù)化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數(shù)的最大值或最小值。
⑵對于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)，畫出圖像，從圖像中觀察最值。
⑶關于二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題
?判斷二次函數(shù)的頂點是否在所求區(qū)間內(nèi)，若在區(qū)間內(nèi)，則接?，若不在區(qū)間內(nèi)，則接?。
?若二次函數(shù)的頂點在所求區(qū)間內(nèi)，則在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a>0時，頂點為最小值，a<0時頂點為最大值；后判斷區(qū)間的兩端點距離頂點的遠近，離頂點遠的端點的函數(shù)值，即為a>0時的最大值或a<0時的最小值。
?若二次函數(shù)的頂點不在所求區(qū)間內(nèi)，則判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性
若函數(shù)在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b)；
若函數(shù)在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。
高一數(shù)學基本初等函數(shù)
1、指數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)
| a的取值 | a>1 | 0<a<1< td=""> |
| 定義域 | x∈R | x∈R |
| 值域 | y∈(0，+∞) | y∈(0，+∞) |
| 單調(diào)性 | 全定義域單調(diào)遞增 | 全定義域單調(diào)遞減 |
| 奇偶性 | 非奇非偶函數(shù) | 非奇非偶函數(shù) |
| 過定點 | （0,1） | （0,1） |
注意：⑴由函數(shù)的單調(diào)性可以看出，在閉區(qū)間[a,b]上，指數(shù)函數(shù)的最值為：
a>1時，最小值f(a)，最大值f(b)；0<a<1時，最小值f(b)，最大值f(a)。< p="">
⑵對于任意指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)，都有f(1)=a。
2、對數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=logax(a>0且a≠1))，叫做對數(shù)函數(shù)
| a的取值 | a>1 | 0<a<1< td=""> |
| 定義域 | x∈(0，+∞) | x∈(0，+∞) |
| 值域 | y∈R | y∈R |
| 單調(diào)性 | 全定義域單調(diào)遞 | 全定義域單調(diào)遞減 |
| 奇偶性 | 非奇非偶函數(shù) | 非奇非偶函數(shù) |
| 過定點 | (1,0) | (1,0) |
3、冪函數(shù)：函數(shù)y=xa(a∈R)，高中階段，冪函數(shù)只研究第I象限的情況。
⑴所有冪函數(shù)都在(0，+∞)區(qū)間內(nèi)有定義，而且過定點(1,1)。
⑵a>0時，冪函數(shù)圖像過原點，且在(0，+∞)區(qū)間為增函數(shù)，a越大，圖像坡度越大。
⑶a<0時，冪函數(shù)在(0，+∞)區(qū)間為減函數(shù)。
當x從右側無限接近原點時，圖像無限接近y軸正半軸；
當y無限接近正無窮時，圖像無限接近x軸正半軸。
冪函數(shù)總圖見下頁。
4、反函數(shù)：將原函數(shù)y=f(x)的x和y互換即得其反函數(shù)x=f-1(y)。
反函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像關于直線y=x對稱。
